EJERCICIOS

Ejemplo 1: Encontrar el periodo de la función
Si la función f(t) es periódica con un periodo T, entonces, de se tiene
puesto que cos(q + 2 p m)=cos q para cualquier entero m se tiene que

donde m y n son enteros, Por consiguiente T= 6p m; cuando m = 4 y n = 3, se obtiene el mínimo valor de T. (esto se puede ver mediante el procedimiento de ensayo y error). De donde, T = 24p
en general, si la función

es periódica con período T, entonces es posible encontrar dos enteros m y n tales que
w 1T = 2nm
w 2T = 2mn el cociente es
es decir, la relación w 1 / w 2 debe ser un numero racional.

Ejemplo2: Si f(t) es real, demostrar que su espectro de magnitud es una función par de w y su espectro de fase f (w ) es una función impar de w
Si f(t) es real, entonces, se tiene

Ejemplo3: Serie de Fourier de cosenos
Sea f(x) = x en [0, 2]. Encuentre la serie de Fourier de cosenos para f(x)
Se tiene, con L = 2 y f(x) = x

Entonces:

TRANSFORMADA DE FOURIER

En matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:

Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.
Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA SE FOURIER

Tabla de Transformadas básicas

En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente de , siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la transformada directa y un factor de en la transformada inversa. A continuación se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad. Si se desea utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la segunda columna por ese factor.

SERIE DE FOURIER

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la forma:


Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función

Ejemplo